Luminescence

『カッコウはコンピュータに卵を産む』を僕が初めて読んだのは、おそらく大学の3年か4年のときだったと思う。当時はヘコタれていた話にも、今の自分は結構食いついていけるので、この本に出てくる話でも、たとえば GNU Emacs のセキュリティホールと出てくると、あー movemail の話だよね、だからここでメール云々と出てくるのは rmail のことを言ってるのか、位は何とかなるわけだけど、下巻の pp.170 で、クリフォード・ストールが、Bell Labsとあの悪名高いNSAで活躍した暗号学者であるRobert "Bob" H. Morris（1988年にインターネットを壊滅状態にしたことで有名なMorris wormの作者Robert Tappan Morrisの父親である）にクイズとして出題された級数、というのが、哀しいかな、完全自力では解けなかった。

そんなふうにして、ひとしきりなぞなぞや回文で遊んだ。これはどうだ、とボブは一連の数字を書き並べた。

1, 11, 21, 1211, 111221。

「この級数をつづけてごらん、クリフ」

私は五分間黒板をにらんで降参した。きっと簡単なことだろうとは思うけれど、今にいたるまで私はこれが解けぬままである。

これは想像なのだけど、おそらくクリフはこの問題の答を知っていると思う。彼の身近にいる物理学者だったら、一人位はこの級数を知っているだろう、と思うからだ……この級数は、標記の通り、"Look-and-say sequence" と呼ばれる。日本語で言うならば、さしづめ、「『見て言って』級数」とでもすればいいのだろうか。この級数を自力で解きたい方は、この次の行からはお読みになられないように。

さて、この級数だけど、その名の通り、項を「見て言って」次の項が決まる、というものである。この場合、a₁ = 1とまず定義する。そして、次の項a₂を決めるためにa₁を見返す。a₁は「1個1がある」→a₂ = 11と定まる。次の項a₃を決めるためにa₂を見返すと、a₂は「2個1がある」→a₃ = 21と定まる。次の項a₄を決めるためにa₃を見返すと、a₃は「1個2があり、1個1がある」→a₄ = 1211……という風に、以下、111221、312211、13112221、1113213211……と決まっていくのである。以下、Fortran で（すみませんね古い奴で）a₁₀まで計算した結果を参考までに載せておこう。

1. 1
2. 11
3. 21
4. 1211
5. 111221
6. 312211
7. 13112221
8. 1113213211
9. 31131211131221
10. 13211311123113112211

この級数には、いくつか面白い性質があることが知られている。たとえば、これらの項を見て何となく予想できると思うけれど、この級数の各項は 1, 2, 3 だけで構成されている（つまり、同じ数字が4つ以上連なることがない）ようだ。また、上で最初に定義したa₁を色々変えることを考えると、a₁ = 22→a_n = 22 for all n ∈ Nとなるのはお分かりだろうと思う。他にはどんな性質があるのだろうか。

実は、この級数には、あのライフゲームを考案したイギリスの数学者ジョン・ホートン・コンウェイ John Horton Conway によって、更に不思議な性質があることが明らかになっている。上に示したように、この「『見て言って』級数」は、項数nが増えるとすぐに巨大な桁数になるのだけど、よーく見ると、項が長くなるに連れ、その項がいくつかの要素……各々の要素を別々に「見て言って」操作をしてからくっつけても、くっついた状態で「見て言って」操作をしても、結果が変わらないような要素……に分割できることが分かる。コンウェイは、その要素が合計92個であることを示した。この92という数は、水素からウランまでの原子番号に等しいので、分割できない要素を原子になぞらえて（ギリシャ語の ἄτομος は「分割できない」という意味である）、上述の「見て言って」操作を分類している。たとえば22 は最も安定な水素、3 はウラン……という具合である。

ちなみに、この話に関しては、日本語で書かれた明解な document がまだない状態、のようだ。暇なときにでも、英語の文献をちょこちょこ読んでおこうと思う。