視覚的理解の効能

何かと質問を受けることの多い今日この頃なわけだが、今度は高校生の数学の質問だった。

| x - 2 | + | x - 4 | = x を解け。

なんでも、数学 I という科目では、絶対値のついた方程式がよく出題されるらしい。うーん、丁寧に場合分けをするか、グラフでも書くかするかすればいいんじゃないの? と言うと、意味が分からぬらしくきょとんとした顔をされる。うーん……

| x - 2 | =
x ≥ 2 → x - 2
x < 2 → 2 - x
| x - 4 | =
x ≥ 4 → x - 4
x < 4 → 4 - x
だから、
| x - 2 | + | x - 4 | = x
x < 2 → (2 - x) + (4 - x) = x ...(1)
2 ≤ x ≤ 4 → (x - 2) + (4 - x) = x ...(2)
x > 4 → (x - 2) + (x - 4) = x ...(3)
と書くことができる。これらを解くと、
(1) x < 2 →
(2 - x) + (4 - x) = x
3 x = 6
x = 2 ……これは x < 2 に反するので棄却。
(2) 2 ≤ x ≤ 4 →
(x - 2) + (4 - x) = x
x = 2 ……これは 2 ≤ x ≤ 4 に属するので解。
(3) x > 4 →
(x - 2) + (x - 4) = x
x = 6 ……これは x > 4 に属するので解。
よって解は x = 2, 6 となる……と紙に書いてみるが、「ん? ん?」となってパニクってしまう。うーむ。ではこれならどうよ。

abs-plot-20130629.png
「y = |x - 2| ってのをグラフに書くと、y = x - 2 を 書いて、x 軸の下側を上側に折り返したものになるよな。だったら、このグラフの黒線になるだろう?」
「はい」
「次。y = |x - 4| ってのをグラフに書くと、y = x - 4 を 書いて、x 軸の下側を上側に折り返したものになるよな。だったら、このグラフの赤線になるだろう?」
「はい」
「では、グラフの黒線と赤線の y の値を足したものを考える。そうすると、x < 2 では傾き -2、x > 4 では傾き2、そしてその間では傾き 0 の直線になる……このグラフの青線のように。これが、y = | x - 2 | + | x - 4 |、だよな」
「はい」
「| x - 2 | + | x - 4 | = x の解、ってのは、この青線と、y = x の交わる点だよな。交わってるところでは | x - 2 | + | x - 4 | = x なんだから」
「……はい」
「じゃあ、y = x をピンクの線で書いて……交点の x 値を読めば、それが答だな。えーと…… x = 2, 6。これでいいよね?」

彼はまた「ん? ん?」と言いながらグラフを見直し始めたが……あー、分かりました、と呟いた。

まあ、いきなりこれに慣れるのも難しいか、ということで、次の問題をこの方法で解いてみてもらう。

| | x - 4 | - 3 | = 2 を解け。

うーん……となる彼に、
「まず、y = | x - 4 | のグラフを書いてみようか」

abs-plot-2-1-20130629.png
「……こ、こうですか」
「うん。じゃあ、それを基に y = | x - 4 | - 3 のグラフを書くとどうなる?」
「マイナス 3 って……どうしたらいいんですか?」
「3 引くんだから、3 下にずらしたらいいんだろう」
abs-plot-2-2-20130629.png
「……こうだよな。で、この | x - 4 | - 3 の絶対値ってことは、どうなる?」
「折り返すんですよね……」
abs-plot-2-3-20130629.png
「……こうですか?」
「そう。これで、y = | | x - 4 | - 3 | が書けたわけだ。で、これが 2 になるとき、ということは、y = 2 の線を引けば……」
abs-plot-2-4-20130629.png
「……こうですか?」
「そうそう。この赤線と青線の交点の x の値が解、ということになるわけだ」

彼は目を丸くして、しばしグラフに見入っていたのだった。

僕は、式だけでこのような式を解くときでも、このようなグラフをラフに書くのが習慣になっている。こうやれば見落しを防げるし、思いもしなかったことに気付くこともあるからだ。そして、高校生的には、このグラフにはもうひとつの大きな利点がある。解答用紙にこのグラフをちゃんと書けば、「上図より x = 2, 6 である」とか、「上図より x = -1, 3, 5, 9 である」とか書くだけで、このグラフ自体がそのまま解答になってしまうのだ。これは便利である。

このような視覚的理解というのは、一見、厳密な数学的理解を満たさないように見えるかもしれない。しかし、言葉を連ねるより図をひとつ書く方が、書くのも簡単だし、伝わる情報も多い。このようなセンスは理系には大事なものなのだが……もっと、脳ミソの力を抜かなきゃならないんだろうなあ、この子は。

TeX Live 2013

何日かぶりに TUG のページを見て、ついに pretest が完全終了して TeX Live 2013 が正式リリースになったことを知った。いやー、これでとりあえずは手元も安定するなあ。

2013 には、いくつか便利(とされている)なラッパーが入っているわけだけど、その中でも最近使っている人が多いらしいのが ptex2pdf である。これを僕のコンテンツで紹介するかどうか、ちょっと考えたのだけど、やめた。このラッパーの存在意義をあまり感じないからだ。

ラッパー wrapper というのは、この場合は、煩雑な複数のプログラムの組み合わせをひとつに「包んで」提供するユーティリティを指す。ptex2pdf の場合、それ自体は texlua で書かれたスクリプトで、ptex / uptex, platex / uplatex と dvipdfmx を一度の入力で適切に動かして、最終的な PDF 文書を出力するようになっている。こう書くと、さぞ便利そうに聞こえるわけだけど、果たして本当にそうだろうか。

いや、インストールしたままで、あるいは、tlptexlive の流儀に従って全てが整えられていれば、そういう恩恵を受けられるのかもしれない。しかし、僕の場合は、フォントの埋め込みをするかしないか、によって、複数のフォントマップを常に使い分けている。また、これも場合によって A4 と A5 と B4 という複数種の紙のサイズを使うし、縦横も変えることがある。こうなってくると、「デフォルトの設定をこれにしておけば後はオッケー」というような使い方は、小回りがきかない分苦痛を生むだけなのだ。

しかも、横書きでルビを使わない文書に関しては、パッケージの対応に関する問題がない限りは LuaTeX で扱うことが多くなってきた。そうなると、もはやこんなラッパーははなっから必要ないのである。

僕は何も「だからこんなものは消えるべきだ」などと暴論を展開する気はない。おそらくこのラッパーは TeXworks での利便性を確保するために書かれたのだろうから、そういう向きの方々は便利に使っておられるだろう。しかし、僕は教育的見地から統合環境を他人に積極的には薦めないし、自分でも使う気はない(vi や Emacs 以外で書く気にはなれない)。だから、おそらくこれからも ptex2pdf を使うことはないだろう。

ひとつ厭なのは、それを使う必要がないのに、たとえば TeX Wiki におけるコマンドの例を片っ端から ptex2pdf を使うように書き換えている輩がいることだ。そんな必要ははなっからないし、それは各プロセスでのトラブルの切り分けを意識させなくしてしまう。あれを見る度に「馬鹿の一つ覚え」という言葉が頭をよぎるわけだが、そういうわけで、『TeX Live を使おう──Linux ユーザと Mac OS X ユーザのために──』では ptex2pdf に関して特に言及する気はない。そのことだけここに明記しておくことにしよう。

眠れぬ夜が続く

この何日か、どうにも眠れずに弱っている。暑いから、というより、湿気があるからなのだが、どうしたらここから逃れられるのだろうか。

思い返してみるに、生まれ育った水戸ではこんなことはなかったと思う。家を出るまで、僕の実家にはクーラーがなかったのだけど、真夏でも朝夕はそこそこ涼しくて、暑さで寝不足になるようなことはなかった。大阪では……いや、大阪でも、結局はクーラーを買うことは一度もなかったのだ。それで何とかやっていけた。

しかし、愛知に住むようになってから、クーラーなしでは生きていけないんじゃないか、と思うようになった。なにせこの辺りは、下手をすると沖縄より気温が高いのだ。沖縄に詳しい人に聞くと、彼の地では風が吹いて、しかもこんなに湿っぽいことはないのだというから、要するに愛知の夏というのは日本最悪だ、と言ってしまって良いのだろう。京都の夏は凄まじい、とよく言うけれど、大阪時代に何度も真夏に京都に遊んだ経験から言うと、やはり愛知の方が過ごし難い。

今日はたまたま家にいるのだが、ついさっき、湿気に耐えかねてとうとうドライを入れてしまった。そんなブツブツ言わずに入れりゃいいじゃん、とか言われそうだけど、部屋を冷やすということは戸外に熱を放出するということである。結局、この地をますます暑くするのに貢献しているに過ぎぬ。いやはや、本当に、どうしてこうも過ごしにくいんだろう。

他人のせいにしてはいけない

TeX Live pretest も、正式リリースに向けて freeze されてからもう1週間位は経ったのだろうか。しかし、僕はついさっきまで、ひとつの問題に悩んでいた。LuaTeX がうまく動作しなかったのである。

症状は、LuaTeX のフォントデータベースが正常に作成されない、というもので、LuaTeX / LuaLaTeX からの呼び出しも、mkluatexfontdb コマンドも、どうも途中でエラーを吐いて止まってしまう。最初のうちは、また何か不具合でも……と思っていたのだが、そのうち pretest が freeze されても、何もそういう話は出てこない。ネット中を探し回っても、そういう話は他では聞かれないのである。

うーん、これはやはり、俺がポカをやっているのかなあ、時間のあるときにちゃんと検証しておこう、と思っていたのだが、今日はたまたま時間があって、shannon-x61 のシステムのフォントディレクトリを見ながらひとしきり考えた。ひょっとしたら、フォントの重複か何かが関係しているのではなかろうか……と。

僕の管理している Linux の端末は、/usr/share/fonts/truetype に TrueType フォント、/usr/share/fonts/opentype に OpenType フォントが入っている。これが TeX のシステムから見えるように、/usr/share/fonts/truetype の中身は /usr/local/texlive/texmf-local/fonts/truetype/public/ 内に、/usr/share/fonts/opentype の中身は /usr/local/texlive/texmf-local/fonts/opentype/public/ 内にシンボリックリンクを作成してある。

うーん……まず、重複している可能性が高いものというと、OpenType フォントなのに拡張子が .ttf である IPA フォント辺りかなあ、と調べてみたが、以前に重複は解消してあった。となると、アヤしいのは Microsoft 関連か……と、ふと Microsoft-splitted というディレクトリに目が停まった。これって……と中身を見ると、日本語関連のフォントがいくつか入っている。そう言えば、JIS の字体の絡みか何かで、古い Windows から抜き出したフォントをここに入れていたんだった……むむむ、これぁアヤしい! ということで、このディレクトリのシンボリックリンクを消去した。あと、最近日本語関連のフォントで Debian から入れているもののアップデートがあったので、fc-cache もかけ直しておくことにして、最後に texhash をかけておくことにする。

さあ、ではどうなるかな……おお! ちゃんとデータベースが作成される! 原因はやはりあれだったか! ということで、ここしばらくの問題がひとつ解消された。やはり、何事もまずは己を疑うべきなのであって、他人のせいにしてはいけないのである。

Profile

T.T.Ueda
Tamotsu Thomas UEDA

茨城県水戸市生まれ。

横山大観がかつて学んだ小学校から、旧水戸城址にある中学、高校と進学。この頃から音楽を趣味とするようになる。大学は、学部→修士→博士の各課程に在籍し、某省傘下の研究所に就職、その2ヵ月後に学位を授与される(こういう経緯ですが最終学歴は博士課程「修了」です)。職場の隣の小学校で起こった惨劇は未だに心に深く傷を残している。

その後某自動車関連会社の研究法人で国の研究プロジェクトに参画、プロジェクト終了後は数年の彷徨を経て、某所で教育関連業務に従事。

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